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八年级数学下册1.4角的*分线的性质课件1(新版)湘教版

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第1章 1、角*分线的概念 一条射线 把一个角 分成两个相等的角, 这条射线叫做这个角的*分线。 A C 1 2 o B A· 如图,AB=AD,BC=DC,沿着 AC画一条射线AE,AE就是∠BAC的角 *分线,你知道为什么吗? B· ·D C· E 不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两全 个相等的角。你有什么办法? 对折 再打开纸片 ,看看折 痕与这个角有何关系? A C O B 作法: 1.以O为圆心,适当长为半 径作弧,交OA于M,交OB于 N. A 2.分别以M,N为圆心.大 M 1 C 于2MN的长为半径作弧.两 弧在∠AOB的内部交于C. 3.画射线OC. 射线OC即为所求. B N O 想一想: 为什么OC是角*分线呢? 已知:OM=ON,MC=NC。 求证:OC*分∠AOB。 A M 证明:在△OMC和△ONC中, C OM=ON, MC=NC, OC=OC, ∴∴∠△MOOCM=C∠≌NO△CONC(SSBS) N O 即:OC*分∠AOB (1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角 三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开, 观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么 结论? (2)猜想:角的*分线上的点到角的两边的 距离相等. 已知:如图,OC*分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于点D, PE⊥OB于点E 求证: PD=PE A 证明:∵OC*分∠ AOB (已知) ∴ ∠1= ∠2(角*分线的定义) D ∵PD ⊥ OA,PE ⊥ OB(已知) 12 PC ∴ ∠PDO= ∠PEO(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中 O EB ∠PDO= ∠PEO(已证) ∠1= ∠2 (已证) OP=OP (公共边) (3)验证猜想 ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等) 角*分线的性质 定理:角的*分线上的点到角的两边的距离相 等。 推理的理由有三 用符号语言表示为: 个,必须写完全, A ∵ ∠1= ∠2 不能少了任何一 个。 PD ⊥OA ,PE ⊥OB D ∴PD=PE (角的*分线上的点到角的 O 12 两边的距离相等) P E B ? 反过来,到一个角的两边的距离相等的点是 否一定在这个角的*分线上呢? 已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足, QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的*分线上. 已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=QE. 求证:点Q在∠AOB的*分线上. 证明: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB(已知), ∴ ∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定义) 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO=QO(公共边) QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO(HL) ∴ ∠ QOD=∠QOE ∴点Q在∠AOB的*分线上 到角的两边的距离相等的点在角的*分线 上。 用数学语言表示为: ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE. ∴点Q在∠AOB的*分线上. 角的*分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的*分线上 ∴ QD=QE 例1 如图, ∠ BAD=∠BCD=90 °, ∠1= ∠2. (1)求证:点B在 ∠ABC的*分线上。 (2)求证:BD是 ∠ABC的角*分线。 证明(1)在△ABC中, A ∵ ∠ 1=∠2 1 ∴BA=BC 又BA ⊥AD,BC ⊥CD B D ∴点B在∠ABC的*分线上。 2 (2)在Rt△BAD和Rt△BCD中, C ∵BA=BC,BD=BD ∴Rt△BAD≌Rt△BCD ∴ ∠ABD=∠CBD ∴BD是∠ABC的*分线。 角*分线的性质定理: 角*分线上的点到这个角的两边距离相等. 角*分线的性质定理的逆定理: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的*分线 上。 1、在Rt△ABC中,BD是角*分线,DE⊥AB,垂 足为E,DE与DC相等吗?为什么? 2、如图,OC是∠AOB的*分线,点P在OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别, 是 D 、 E,PD=4cm, 则 PE=__________cm. EA D A C P D B E B C O 3.要在S区建一个集贸市场,使它到公路, 铁路距离相等且离公路,铁路的交叉处500 米,应建在何处?(比例尺 1:20 000) O 公路 铁路 S 4、在△ABC中,AC⊥BC,AD为∠BAC的* 分线,DE⊥AB,AB=7㎝,AC=3㎝,求BE的长。 A E C B D 观察可能导致发现,观察将揭示某 种规则、模式或 规律。 ——波利亚



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