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高考数学一轮复* 第8章 *面解析几何 8.1 直线的倾斜

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课后作业夯关 8.1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 [重点保分 两级优选练] A级 一、选择题 1.(2018·朝阳模拟)直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角为 () π A.6 2π C. 3 π B.3 5π D. 6 解析 直线斜率为- 33,即 tanα=- 33,0≤α<π,∴α =56π,故选 D. 2.(2017·正定质检)直线 xcos140°+ysin40°+1=0 的倾 斜角是( ) A.40° B.50° C.130° D.140° 解析 将直线 xcos140°+ysin40°+1=0 化成 xcos40° -ysin40°-1=0,其斜率为 k=csoins4400°°=tan50°,倾斜角为 50°.故选 B. 3.(2018·哈尔滨模拟)函数 y=asinx-bcosx 的一条对称 轴为 x=π4,则直线 l:ax-by+c=0 的倾斜角为( ) π π A.4 B.3 2π 3π C. 3 D. 4 解析 由函数 y=f(x)=asinx-bcosx 的一条对称轴为 x =π4知,f(0)=f????π2????,即-b=a,∴直线 l 的斜率为-1,∴倾 斜角为34π.故选 D. 4.(2018·衡阳期末)已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直 线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为( ) A. 3 B.- 3 C.0 D.1+ 3 解析 直线 PQ 的斜率为- 3,则直线 PQ 的倾斜角 为 120°,所求直线的倾斜角为 60°,tan60°= 3.故选 A. 5.在等腰三角形 AOB 中,AO=AB,点 O(0,0),A(1,3), 点 B 在 x 轴的正半轴上,则直线 AB 的方程为( ) A.y-1=3(x-3) B.y-1=-3(x-3) C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(x-1) 解析 因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数,所以 kAB=-kOA=-3,所以直线 AB 的点斜式方程为 y-3=-3(x-1).故选 D. 6.(2017·浙江诸暨质检)直线 Ax+By-1=0 在 y 轴上的 截距是-1,而且它的倾斜角是直线 3x-y=3 3的倾斜角 的 2 倍,则( ) A.A= 3,B=1 B.A=- 3,B=-1 C.A= 3,B=-1 D.A=- 3,B=1 解析 将直线 Ax+By-1=0 化成斜截式 y=-ABx+B1. ∵B1=-1,∴B=-1.又直线 3x-y=3 3的倾斜角 α=3π, ∴直线 Ax+By-1=0 的倾斜角为 2α=23π,∴斜率-AB= tan23π=- 3,∴A=- 3,故选 B. 7.若经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正 的,且截距之和最小,则直线的方程为( ) A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0 解析 解法一:直线过 P(1,4),代入,排除 A、D;又 在两坐标轴上的截距为正,排除 C,故选 B. 解法二:设方程为ax+by=1, 将(1,4)代入得1a+4b=1. a+b=(a+b)????1a+4b????=5+????ba+4ba????≥9, 当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小. 所以直线方程为3x+6y=1,即 2x+y-6=0.故选 B. 8.若直线 ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线 在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析 ∵直线 ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),∴a+b =ab,即1a+1b=1,∴a+b=(a+b)????1a+1b????=2+ba+ab≥2+ 2 ba·ab=4,当且仅当 a=b=2 时上式等号成立.∴直线在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为 4.故选 C. 9.(2017·新乡一中月考)若 m,n 满足 m+2n-1=0, 则直线 mx+3y+n=0 过定点( ) A.????12,16???? C.????16,-12???? B.????12,-16???? D.????-16,12???? 解析 ∵m+2n-1=0,∴m+2n=1.∵mx+3y+n=0, ∴(mx+n)+3y=0,当 x=12时,mx+n=12m+n=12,∴3y= -12,∴y=-16,故直线过定点????12,-16????.故选 B. 10.若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m2+n2 的最小值是( ) A.2 C.4 B.2 2 D.2 3 解析 因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,所以 4m+3n-10=0. 欲求 m2+n2 的最小值可先求 ?m-0?2+?n-0?2的最小 值. 而 ?m-0?2+?n-0?2表示 4m+3n-10=0 上的点(m, n)到原点的距离,如图. 当过原点和点(m,n)的直线与直线 4m+3n-10=0 垂直 时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为 2. 故 m2+n2 的最小值为 4.故选 C. 二、填空题 11.已知 P(-3,2),Q(3,4)及直线 ax+y+3=0.若沿P→Q 的方向延长线段 PQ 与直线有交点(不含 Q 点),则 a 的取值 范围是___????-__73_,__-__13_????___. 解析 直线 l:ax+y+3=0 是过点 A(0,-3)的直线系, 斜率为参变数-a,易知 PQ,QA,l 的斜率分别为:kPQ=13, kAQ=73,kl=-a.若 l 与 PQ 延长线相交,由图可知 kPQ<kl<kAQ, 解得-73<a<-13. 12.(2018·石家庄校级期末)一直线过点 A(-3,4),且在 两 轴



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