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高中数学苏教版选修1-1第2章《2.4.1抛物线的标准方程》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

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高中数学苏教版选修 1-1 第 2 章 《2.4.1 抛物线的标准方程》 优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案 1 教学目标 了解抛物线的定义;能用类比的方法,推导出抛物线的标准方程;理解抛物线中的基本量。 2 学情分析 抛物线是圆锥曲线中的一种,也是日常生活中常见的一种曲线。学生很早就认识了抛物线, 知道斜抛物体的轨迹是抛物线,一些拱桥的桥拱形状是抛物线,一元二次函数的图像是抛物 线等等。 可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识。 这节课的授课对象是我校高 二的学生,他们的数学基础知识比较扎实,具有一定的空间想象能力、 抽象概括能力和推理运 算的技能,有较好的学**惯和方法.在本节课之前,学生已经学*了椭圆,对圆锥曲线的研 究过程和研究方法有了一定的了解和认识,这对于圆锥曲线的后续学*有借鉴、 迁移的作用。 3 重点难点 重点:抛物线的定义;根据具体条件求出抛物线的标准方程;根据抛物线的标准方程求出焦点 坐标、准线方程; 难点:抛物线的标准方程的推导. 4 教学过程 4.1 第一学时 4.1.1 教学活动 活动 1【导入】(一)课堂引入 问题 1:解析几何的主要研究方式是什么? (1)几何图形 代数方程 (2)几何性质 代数性质 问题 2:用*面截圆锥面,可能得到哪些曲线? 圆、椭圆、双曲线、抛物线——圆锥曲线 问题 3:如何研究抛物线? 研究抛物线的标准方程和几何性质 问题 4:生活中的抛物线? 问题 5:抛物线的画法? 直尺、三角板;几何画板 活动 2【导入】(二)探究研讨 问题 1:抛物线的定义是什么? *面内与一个定点和一条定直线 ( 不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点 叫做 抛物线的焦点,定直线 叫做抛物线的准线. 注:(1)定点不在这条定直线上; (2)定点在这条定直线 上,则点的轨迹是什么? 1.到定点(3,0)与到直线 的距离相等的点的轨迹是 2.到定点(3,0)与到直线 的距离相等的点的轨迹是 . . 问题 2:我们知道函数 的图像是抛物线,那么它上面的任一点应满足到一个定点的距离和到 一条定直线的距离相等.你能找出定点和定直线吗? 问题 3:要确定定点与定直线,即焦点与准线,能否根据有关椭圆与双曲线所学知识,做一些 合理的猜想呢? (合作探究)分小组讨论,猜想定点与定直线的位置. 探究结果:(1)定点在对称轴上,且在抛物线的内部,故在 轴的正半轴上; (2)定直线应与定点所在对称轴垂直,且与定点位于曲线(顶点)的两侧,故定直线位 于 轴下方且与 轴*行. 问题 4:(问题转化)动点 满足到定点 的距离和到定直线 的距离相等,且 点的轨迹方程为 , 求 的值. 解:设 ,由题意知: 即为点 的轨迹, 又由已知 点的轨迹方程为 , 比较可知: ,解得: , 结论:抛物线 可看成是*面内到定点 的距离和到定直线 的距离相等的点的轨迹. (几何画板演示) 问题 5:类似地,你能说明二次函数 的图像是抛物线吗?还可用其它方法说明吗? 活动 3【讲授】(三)数学建构 1.推导抛物线的标准方程 问题 1:建立坐标系,从本质上讲是人为的,你想怎么建就怎么建,但不同坐标系下方程的繁 简程度不一样,对该问题,你会如何建立坐标系?为什么? 三种方式,过原点最好,不含常数项 如图所示,建立直角坐标系,设 (), 那么焦点 的坐标为,准线 的方程为 , 设抛物线上的点,则有 . 化简方程得 . 方程 叫做抛物线的标准方程. 问题 2: 的几何意义是什么? 问题 3:抛物线的标准方程还有其他形式吗?其它形式的抛物线的焦点与准线呢? 活动 4【活动】(四)数学应用 例 1.已知下列抛物线标准方程,求它的焦点坐标和准线方程; (1) ;(2) ;(3) ;(4) . 标准方程 图形 焦点 准线 【变式训练 1】 (1)抛物线 的焦点坐标是 (2)抛物线 的焦点坐标是 (3)抛物线 的焦点坐标是 (4)抛物线 的焦点坐标是 (1) , (2) , (3) , (4) , ,准线方程是 ,准线方程是 ,准线方程是 ,准线方程是 ; ; ; . 问题:如何才能求出一个抛物线的标准方程?需要已知几个条件? 例 2.求适合下列条件的抛物线的标准方程; (1)焦点是 ;(2)准线方程是 ; (3)过点 ;(4)过点 , 为抛物线焦点到准线的距离. (1) (2) (3) (4)解: 在第二象限, 设抛物线的标准形式为 或 将点 代入 ,得 ,解得 , 将点 代入 ,得 ,解得 , 所求抛物线的方程为 或 . 【变式训练 2】 求适合下列条件的抛物线的标准方程; (1)焦点是 ; (2)焦点到准线的距离为 2; (3)焦点在直线 上. (1) (2) 或 (3) 或 总结:抛物线的标准方程 焦点坐标、准线方程 先定位,后定量 例 3.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 轴,抛物线上的点 到焦点的距离等于 5,求抛物线 的方程和 的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程. 抛物线的方程为 , ,焦点坐标 ,准线方程 【变式训练 3】 (1)已知点 在抛物线 上, 若点 的横坐标为 7,则点 到抛物线焦点 的距离 若点 到抛物线焦点 的距离等于 9,则点 的坐标是 10, ; . 【变式训练 3】 (2)已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 轴,抛物线上的点 到焦点的距离等于 5,则该抛物 线的标准方程 为 解:设抛物线的方程为 或 , 当抛物线的方程为 时, 点 在抛物线上, ,即 ,1 又 由抛物线的定义,得 ,2 . 由 12 得, ,即 , 此时抛物线的标准方程为 或 , 同理可得: 或 , 综上所述,该抛物线的标准方程为 或 . 活动 5【作业】(六)练*思考 作业:1.选修 1-1 50 页 *题 1、2、3 2.*面上的动点 到定点 的距离比 到 轴的距离大 1,求动点 的轨迹方程. 思考:我们今天所学的抛物线与初中学*的抛物线(二次函数



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