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2004年全国高中数学联赛吉林赛区初赛

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2005 年第 3 期

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2004 年全国高中数学联赛吉林赛区初赛
   一、 选择题 ( 每小题 6 分 , 共 36 分)
1.
A B C 的三个内角满足 sin A ? cos B ). - sin B = sin C - sin A ? cos C. 则 (   

( C) 动点 P 的轨迹方程为
x-

( A) ∠A = 90°   (B) ∠B = 90° ( C) ∠C = 90° ( D)
A B C 不一定是直角三角形

23 2 25 23 2 25

2

+
2

y

2

21

=1

( D) 动点 P 的轨迹方程为
x+

2 . 设{ z n } 是一个复数数列 , 定义
z n = ( 1 + i) 1 +
2 004

+

y2

21

=1

i i …1+ . 2 n

6 . 已知 Rt

A B C 斜边 A B 上的高为 CD ,

沿 CD 将

A CD 折起 , 折成一个直二面角



n=1

| z ∑

n

). - z n + 1 | = (   

A - CD - B , 此时 , ∠A CB 的余弦值为 ). 的值为 (    ( A) 15° 或 75° ( C) 30° 或 60°

1 . 则 ∠A CD 4

( A) 2 004   ( B ) 1   ( C ) 0   ( D ) 2 004 3 . 已知一个矩形的两边所在直线的方程

分别为
( m + 1) x + y - 2 = 0

和  4 m 2 x + ( m + 1) y - 4 = 0 .
). 则 m 的值为 (   

二、 填空题 ( 每小题 9 分 , 共 54 分) 7 . 设{ a n } 是递增的正整数数列 1 , 7 , 8 , 49 , 50 , 56 , 57 , …, 它们或者是 7 的幂 , 或者是 若干 个 7 的 不 同 的 幂 之 和 . 则 a1 000 =
.

( A) - 1 ( C) 1 或1 3 1 . 3

8 . 已知某系列化合物的分子式通式为 C m H n ( 其中 m 、 n 为正整数) , 其碳原子所占
m , 给出一系列 m+ n 该 化 合 物 的 分 子 式 : CH4 , C2 H6 , …,

4 . 两个向量 a 、 b 满足 | a - 2 b| = 1 , | 2 a + 3 b| =

的个数比的计算公式为

( a - 9 b) 的值为 (    ). 则 ( 5 a - 3 b) ?

C n H2 n + 2 , …. 则这一系列分子式中 , 碳原子

80 80   ( D) 9 3 27 5 . 设 P ( x , y ) 到定点 M ( , 0 ) 的距 2 离为 d 1 , 点 P 到 y 轴的距离为 d 2 . 若 5 d 1 + ( A) 0   (B) 10   ( C)
). 2 d 2 = 48 , 则 (   

所占的个数比 x 的取值范围是
1 1 1 ≥ + + 1. 1 + 2 a 1 + 2b 1 + 2c

.

9. 设 a 、 b、 c ∈R + , 且 abc = 1 . 求证 :

( A) 动点 P 的轨迹为双曲线一支 (B) 动点 P 的轨迹曲线的离心率为 5 2

分析 :为了证明结论中的不等式 , 可以先 由已知条件 , 运用均值不等式证明以下的 3 个不等式 α 1 ≥ a α α α, 1+2a a + b + c
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中 等 数 学

1 ≥ b α α α, 1 +2b a + b +c 1 ≥ c α α α, 1 +2c a + b +c
( 其中 α为常数) . 再将上述 3 个不等式相加
α

α

…+

a5 a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4

的最小值 . ( 20 分 ) 求所有的正整数 n , 使得 n 五、
2 2 2 = p2 p2 、 p3 、 p4 是 1 + p 2 + p 3 + p 4 , 其中 p 1 、

即可 得 证 . 则 分 析 过 程 中 常 数 α 的 值 为
.

n 的不同的 4 个最小的正整数因子 .
n

10 . 设 f ( x ) = x 2 - 2 ax - a2 -

3 . 若对 4

( 20 分) 求 六、

k=0

∑k 4 的求和公式 , 并给出

任意的 x ∈[ 0 , 1 ] , 均有 | f ( x ) | ≤1 , 则实数
a 的取值范围是 .

证明 .

参考答案
一、 1. A   2. A   3. B   4. C   5. D   6. A 二、 8. 7 . 47 076 750  
10 . 1 ≤ 1 2 x <  9 .   5 3 3

11 . 设函数 f ( x ) 定义域为 R. 若存在与 x

无关的正常数 M , 使| f ( x ) | ≤M | x | 对一切 实数 x 均成立 , 则称 f ( x ) 为有界泛函 . 下列 函数中 , 属于有界泛函的有 ①f ( x ) = e , ②f ( x ) = x 2 , ③f ( x ) = x ( sin x + cos x ) , ④f ( x ) =
x
2 2
x

( 填序号) .

1 ≤ ≤2 a   11 . ③、 ④、 ⑤  12 . 232 2 4 三、 设 E 为 ( x 1 , y 1 ) , 由 k A C ×k A E = - 1 , 有
y y1 - y ? = - 1. x x1 - x



x + x +1

,

整理得 y 1 = 又
x2 1 a
2

x 2 + y2 x ? x1 . y y

⑤f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数 , 且对一 切实数 x 1 、 x 2 均有
| f ( x 1) - f ( x 2) | ≤ 2| x 1 - x 2 | . 12 . 非空集合 A 满足
( 1) A Α { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …, 11} ; ( 2) A 中任何 2 个整数不相邻 .
0.

+

y2 1 b
2 2

= 1 , 把 y 1 代入式 ① 得
3

( x - x 1 ) [ a x + 2 a2 y2 x - b2 y2 x - ( a2 x 2 + b2 y2 ) x 1 ] =
2 3 2 2 2 2

故 x1 =

a x +2a y x - b y x 2 2 2 2 a x + b y a - b a x 2 + b2 y 2
2 2 2

 = 1 + 2 y 2 ? 2

x.

则满足条件的 A 的个数为
2

.
2

a b ( a > b > 0) , A ( x , y ) 为 Γ 上一点 , B 、 C、 D

x y ( 20 分 ) 设 Γ 为 椭 圆 2 + 2 = 1 三、

a - b2 y. 2 2 2 a x + b y x1 + x tx + x 令 F ( t x , - ty) , 有 = .则 - ty + y y 1 + y

同理 , y 1 = 1 - 2 x 2 ? 2

分别为 A 关于 y 轴 、 原点 、 x 轴的对称点 , E 为Γ 上一点 , 使 A E ⊥A C , C E 与 B D 的交点 为 F.
( 1 ) 求出点 F 的坐标 ( 用 A 的坐标表

t=

2 2 x 1 y - xy 1 a - b = . x 1 y + xy1 + 2 xy a2 + b2 2 2 2 2

a - b a - b ( - y) . x, 2 2 2? 2? a + b a + b ) 满足 当 A ( x , y ) 沿着 Γ 运动时 , 则 F ( x′ , y′

所以 , F

示) ;
( 2) 当 A 沿Γ 运动时 , F 的轨迹是什么 ?

2 x′ 2 a - b a 2 2? a + b 2

2

+

2 y′ 2 a - b b 2 2? a + b 2

2

= 1.

与 Γ 有何关系 ?
( 20 分) 设 a i ∈R + , i = 1 , 2 , …, 5 . 求 四、 a1 a2 + 3 a3 + 5 a4 + 7 a5 a2 a3 + 3 a4 + 5 a5 + 7 a1

因此 , F 的轨迹为椭圆 , 且与 Γ 相似 . 四、 设原式为 A . 由柯西不等式 , 有
A? [ a1 ( a2 + 3 a3 + 5 a4 + 7 a5 ) + a2 ( a3 + 3 a4 +

+

+

5 a5 + 7 a1 ) + …+ a5 ( a1 + 3 a2 + 5 a3 + 7 a4 ) ]

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2005 年第 3 期

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≥( a1 + a2 + a3 + a4 + a5 ) 2 . 于是 , 有 A ≥ 8 因为 4
=
i =1



6 n.

① 注意到
n

1 ≤i < j ≤ 5

∑a . ∑ aa
i i j

5

2

k=1

∑( k + 3) ( k + 2) ( k + 1) k
n k=1

i =1

∑a
i
5

5

2

i

- 10

1 ≤i < j ≤ 5



ai aj

=

∑ 5 { ( k + 3) ( k + 2) ( k + 1) k [ ( k + 4)
n

1

-

1 ≤i < j ≤ 5

∑ (a
i =1

- aj ) 2 ≥ 0,
2


=

( k - 1) ]}

所以 ,

∑a

i

≥5 2

1 ≤i < j ≤ 5



1 5

ai aj .

k=1

∑[ ( k + 4 ) ( k + 3 ) ( k + 2 ) ( k + 1 )

k -

( k + 3) ( k + 2 ) ( k + 1) k ( k - 1 ) ]

5 从而 , A ≥ . 16

=

1 ( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2) ( n + 1) n . 5
n n k=1

当 a1 = a2 = a3 = a4 = a5 时 , 式 ①、 ② 中的等号
5 都成立 , 即有 A = . 16 5 . 16 五、 若 n 是奇数 , 则 n 的所有因子都是奇数 , 即

又熟知
n

∑k3 = ( ∑k) 2 =
k=1

1 2( 2 n n + 1) , 4
n

综上所述 , 所求的最小值为

k =1



k =

2

1 n ( n + 1) ( 2 n + 1) , 6

k =1

∑k =

1 n( n + 2

1) .

n

0 ( mod 4) .

由式 ① 有

2 2 2 而 n = p2 0 ( mod 4) , 矛盾 . 1 + p 2 + p 3 + p4 ≡

所以 , 2| n . 若 4| n , 则 p1 = 1 , p2 = 2 .
2 从而 , n = 1 + 0 + p2 3 + p4

k=0

∑k4 = ∑k4
k=1 k=1

n

n

= 0 ( mod 4) , 矛盾 .

∑( k + 3) ( k + 2) ( k + 1) k k=1

n

所以 , 48 n . 因此 ,{ p1 , p2 , p3 , p4 }
= { 1 , 2 , p 3 , p 4 } 或{ 1 , 2 , p 3 , 2 p 3 } .

  6

∑k3 - 11 ∑k2 - 6 ∑k
k=1 k=1

n

n

n

若{ p1 , p2 , p3 , p4 } = { 1 , 2 , p3 , p4 } , 这是不可能 的. 从而 ,{ p1 , p2 , p3 , p4 } = { 1 , 2 , p3 , 2 p3 } , 即
n = 5 ( 1 + p3 ) .
2

1 3 2 ( n + 4) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n = n ? 5 2 11 ( n + 1) 2 n ( n + 1) ( 2 n + 1) - 3 n ( n + 1) 6 1 ( n 5 + 10 n4 + 35 n 3 + 50 n 2 + 24 n ) = 5 3 11 ( 2 n3 + 3 n2 + n)   ( n4 + 2 n3 + n2 ) 2 6

故 p3 = 5 . 所以 , n = 130 . 六、 由 ( n + 3) ( n + 2) ( n + 1 ) n
= n4 + 6 n3 + 11 n2 + 6 n ,

  3 n2 - 3 n
1 5 1 4 1 3 1 n + n + n n. 5 2 3 30 注 :本解法主要是应用 “裂项求和” 的技巧 . =
( 王晓辉   提供)
3 2

有  n = ( n + 3 ) ( n + 2 ) ( n + 1 ) n - 6 n - 11 n -

4

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